Un problema griego antiguo: la raiz de dos

Por Alberto Vicente Delfino

Observatorio del Colegio San Jose 

Sobre el programa de Pitágoras 

Una piedra en el zapato de los primeros filósofos griegos: la raíz cuadrada de dos 

Pitagoras y su Teorema.

Para los primeros filósofos los principios inmutables de la naturaleza eran “sustancias subyacentes” o ingredientes. Así pues la concepción que los griegos tenían de la creación del universo era el resultado de la expansión, la contracción y la mezcla de unidades de materiales inmutables.

Ahora bien, puesto que el tema principal de la filosofía griega era el poder de la razón, también se desarrollaron concepciones que se prestaran más al razonamiento y a la demostración racional, por eso, junto con esta idea de los “ingredientes” se desarrollo también la idea de que los verdaderos principios de las cosas eran axiomas matemáticos.

El resultado más importante por esta pasión por la demostración racional fue que, además de la física teórica, los griegos inventaron el ideal clásico de la matemática abstracta.

Los principios de la geometría

En Egipto y la Mesopotamia habían llegado a adquirir gran desarrollo las técnicas prácticas de cálculo. Por ejemplo, la geometría (geo= tierra, metria= medir) que consistía en un conjunto de reglas empíricas para ser usadas en la agrimensura. Así encontramos que los matemáticos babilonios comprendían la relación entre los lados de un triangulo rectángulo que midieron tres, cuatro y cinco unidades; pero nunca formularon el teorema general de Pitágoras, y menos aun dieron alguna demostración del mismo.

Fracción de una roca donde esta grabado el teorema.

La presentación de la matemática como un sistema de proposiciones generales y abstractas, unidas por el razonamiento lógico –como en los textos de geometría de la actualidad-, parece haber sido una invención de los griegos. Solo después de esta innovación fue posible examinar la matemática de una manera teórica y separada, aparte de toda aplicación práctica. La primera gran innovación intelectual de los griegos condujo de este modo, de manera natural a la segunda: el resultado más sorprendente de la fe de los griegos en la posibilidad de comprender el mundo en términos de principios racionales fue la invención de la matemática abstracta.

Los Pitagóricos

La más grandiosa ambición que concibieron fue explicar todas las propiedades de la naturaleza en términos exclusivamente aritméticos. Tal fue el objetivo de los Pitagóricos del sur de Italia.

Ellos sabían, por supuesto, que los fenómenos del cielo reaparecían de manera cíclica; por eso cuando descubrieron que también en la tierra algunas cosas se comportaban de manera tal que manifiestan relaciones numéricas simples, tal ambición recibió nuevo estímulo.

El ejemplo que mas los impresionaba era el del sonido emitido por una cuerda vibrante. Ellos descubrieron que el sonido se relaciona de manera simple con la longitud de la cuerda. Si la totalidad de la cuerda da un sonido de altura determinada, al reducir su longitud a la mitad produciremos la octava; si la dividimos por tres, el sonido producido estará una quinta por encima de esta última octava, y así sucesivamente. Las correlaciones entre el sonido original y sus “armónicos” siempre se expresan en magnitudes fraccionarias simples.

Los números de las cosas

Por eso, al principio, el programa de la filosofía matemática era buscar “los números en las cosas”. Y dado que los pitagóricos constituían una hermandad religiosa, para quienes el orden natural y el orden moral se hallaban ligados estrechamente, ellos pensaron que esta búsqueda no solamente los iba a conducir a explicaciones. Creían que si lograban descubrir las armonías matemáticas que hay en las cosas, podían también descubrir cómo ponerse en armonía con la naturaleza.

"Acorde planetario" de Kepler, basado en los conceptos pitagóricos.

De este modo, tanto las virtudes como los sonidos, las formas y los movimientos deberían recibir una interpretación aritmética. Hoy esto puede sonar extraño pero debemos recordar que los primeros griegos aún no habían recibido, obviamente, la influencia de las concepciones cristiana posterior acerca del alma; para ellos, el alma formaba parte del mundo natural. Un hombre que gozaba de salud espiritual era como un instrumento musical bien afinado.

Cualquiera que sea el juicio que nos merezca su ética aritmética, debemos admitir que tenían buenas razones para pensar que, tanto la astronomía como la acústica eran aritméticas en su esencia. El estudio de las fracciones simples, tal como la aprendemos hoy en la escuela, era llamado “música” hasta fines de la Edad Media.

Las influencias

¿Qué influencia ejercieron en el campo particular de la astronomía estos intentos por elaborar una concepción aritmética de la naturaleza? Los primeros pitagóricos como Anaxágoras, pudieron explicar el porqué de las observaciones de los babilónicos (cuyo registro tan detallado y exacto, los propios babilónicos, jamás pudieron explicar) ya que comprendieron que la luz de la Luna no es propia, y que los eclipses se producen cuando un cuerpo astronómico oscurece a otro. Pero fueron aun más lejos, y enseñaron que la Tierra es una esfera, y no un disco o un cilindro.

Alejandro de Afrodisias.

En este cuadro general podría objetarse que no hay nada especialmente aritmético, pero el siguiente comentario de Alejandro de Afrodisias (Siglo III a.C.) muestra donde aparece la aritmética.

Los pitagóricos afirmaban que "los cuerpos del sistema planetario giran alrededor del centro a distancias que se hallan relacionadas entre sí por proporciones matemáticas. Algunos cumplen sus revoluciones más rápidamente que otros. Los más lentos emiten sonidos más graves, a medida que se mueven, y los más rápidos emiten sonidos más agudos. Estos sonidos dependen de las proporciones de las distancias, que se hallan distribuidas de tal manera que el efecto combinado es armonioso… Si la distancia del Sol a la Tierra (por ejemplo) es el doble de la distancia de la Luna, la Venus tres veces mayor y la de Mercurio cuatro veces mayor, suponían que había proporciones aritméticas en el caso de los otros planetas igualmente, y que el movimiento de todo el cielo era armonioso. Los cuerpos más distantes (afirmaban) se mueven con mayor rapidez, los más cercanos se mueven más lentamente y los cuerpos que están entre los primeros y los segundos se mueven a velocidades que corresponden a las dimensiones de órbitas".

Representacion simple de la armonía de las esferas.

Obsérvese que en la cita anterior, las distancias planetarias se miden desde la Tierra. Alejandro era aristotélico y por eso usa un ejemplo geocéntrico para ilustrar el punto central de la teoría pitagórica.

Esta creencia pitagórica en que las distancias de los planetas del centro de sus órbitas cumple una ley matemática simple y “armoniosa” fue una convicción que Kepler sostuvo durante toda su vida, dos mil años más tarde, e inspiro todo el curso de sus investigaciones astronómicas.

De esta manera los pitagóricos cayeron en una suerte de “embrujo”, otorgando a ciertos números un carácter divino y fueron los primeros en captar la fascinación intelectual (o la diversión) que ofrece el mundo de los números. Independientemente de la astronomía y de la acústica hicieron una serie de descubrimientos acerca de las propiedades de los números enteros, muchas de las cuales demostraron geométricamente disponiendo guijarros para formar triángulos, cuadrados y rectángulos. Su figura sagrada era el tetraktys. Esta figura expresaba para ellos la ecuación aritmética en números 10 = 1 + 2 + 3 + 4

El Tetraktys

Sobre el problema del programa

Como en este mundo todo tiene un “pero”, Pitágoras también tuvo el suyo, y más bien temprano que tarde, el programa pitagórico encontró, un serio inconveniente como resultado del cual cambio totalmente la dirección de las especulaciones griegas acerca de la naturaleza (e inspiró a Platón a dirigirse hacia esa nueva dirección).

En efecto descubrieron ciertas relaciones geométricas muy elementales que no se adecuaban a su esquema; este descubrimiento fue un duro golpe para ellos.

Los pitagóricos descubrieron que si el lado de un cuadrado tiene una longitud igual a un número entero de unidades, la longitud de la diagonal nunca será un número entero de estas mismas unidades. También podemos decir: la diagonal y el lado de un cuadrado son “inconmensurables”, es decir, no son medibles en unidades comunes.

Puesto que, por el teorema de Pitágoras, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad, es la raíz cuadrada de dos, podemos decir que no es posible expresar la raíz cuadrada de dos como una fracción simple de dos números enteros. No hay dos números enteros cuya división sea igual a la raíz cuadrada de dos; esta cantidad solo puede ser expresada numéricamente mediante el decimal infinito 1,4142....

Raiz cuadrada de 2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907.......

Hasta el día de hoy los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de dos, un número irracional. Esto constituye un eco lejano de la respuesta de los griegos a este descubrimiento, Enamorados de los números enteros, para ellos era doblemente irracional, por un lado no puede expresarse un numero como relación de dos y por el otro lado esta irracionalidad era una amenaza, una indicación de que toda su concepción del mundo carecía de sentido.

Toda la concepción pitagórica del mundo se basaba en la idea de que todo se adecua a principios racionales y de que estos son la expresión de números enteros y de sus fracciones (o razones). Así la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos amenazaba con quebrantar toda su fe.

La leyenda nos dice que trataron a ese descubrimiento como a una especie de esqueleto oculto en un placar, cuyo conocimiento por el resto de la humanidad es necesario evitar por todos los medios. Pues ¿de qué manera su enseñanza fundamental, según la cual los números enteros constituyen los principios esenciales de la naturaleza, podía sobrevivir a la revelación de que, de acuerdo con sus pautas, ni siquiera la geometría simple era totalmente racional?

Una raíz cuadrada Real..........

Aunque su primera reacción fue suprimir este descubrimiento, a la larga debieron enfrentarse con él, y los resultados de esto fueron beneficiosos. Este obstáculo para la elaboración de una teoría aritmética de la naturaleza no desacredito a la matemática (como ellos temían). En lugar de ello sirvió como estimulo para la creación de una teoría geométrica, que en realidad funcionó mucho mejor. Después de todo (pensaban los hombres), quizá los números son demasiado generales y abstractos para servir como principios universales de las cosas; las figuras y los modelos geométricos quizá podrían servir más efectivamente a la física.

Quizás, inspirado en este nuevo rumbo que tomo la teoría geométrica, Platón colgó un cartel en el frontispicio de su academia que versaba aproximadamente así: “Prohibida la entrada a aquel que no sepa geometría” y aunque Platón no era un matemático supo difundir e inspirar a otros en tan noble saber.

En este pasaje de “La República” Platón discute los objetivos y los métodos de la astronomía en los siguientes términos:

"Por eso, si queremos estudiar la astronomía de una manera que haga uso adecuado del intelecto innato del alma, debemos proceder como lo hacen en geometría – es decir, trabajando en problemas matemáticos- y no perder el tiempo observando los cielos".

Pero esto, ya es harina de otro costal y será motivo de un nuevo relato si Dios y la Virgen, así me lo permiten.

Bibliografía:

“La trama de los cielos” – Stephen Toulmin y June Goodfield – Eudeba.

Pitágoras “Los versos de oro” Editorial Troquel