martes, 23 de noviembre de 2010

Las Leyes de Kepler

Kepler calculó, en base a observaciones propias y de Tycho Brahe, que era posible saber varias características de los movimientos planetarios. Hasta ese momento (fines del 1500) prácticamente el movimiento planetario era considerado "mágico", en órbitas circulares.
Friedrich Johannes Kepler, (1571-1630)
Kepler, estudiando fundamentalmente el movimiento de Marte se dio cuenta de tres leyes que llevan su nombre.


Porque Marte? Porque es un planeta cercano, y tiene una órbita lo suficientemente elíptica para que sea facilmente medible con las técnicas de la época. Recuerden que fue ANTES de la invención del telescopio.

Son tan poderosas que todavía se siguen usando, más de 400 años después que fueron concebidas.

Las leyes se van complicando de la primera a la tercera. Hay algunos comentarios en un articulo anterior sobre las órbitas.

Aquí veras un vídeo de youtube donde se explican las tres leyes. Luego las analizaremos una por una.


También nos servirá este vídeo sobre el trazado de una elipse:


Las partes de una órbita son:

Aquí pueden verse las partes mas importantes de una órbita elíptica: el perihelio y el afelio, que son respectivamente la mínima y máxima distancia al Sol, los focos, lugar donde se encuentra el astro gravitante central (en este caso el sol).
La excentricidad de la órbita, que también es un punto importante, se puede calcular:

                  distancia del centro de la elipse a uno de los focos
         e =  ________________________________________
                                              Semieje mayor

En el caso de los planetas este valor es así cero, por lo que se considera que las órbitas planetarias no se alejan demasiado del circulo.

Primera Ley:

dice que
"las órbitas de los planetas son elípticas, con el Sol en uno de sus focos".
Esto era muy revolucionario, porque significaba considerar al Sol como el centro del Sistema Solar, y que los planetas se movían en órbitas elípticas, no circulares.

Segunda Ley:


dice que
"el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales". 
El radio vector es la línea que une el centro del Sol con el centro del planeta.

Cuando un astro esta cerca del perihelio va mas rápidamente que si esta en el afelio. Es lógico pensar en entonces que recorrerá mas distancia en el perihelio (parte izquierda del diagrama de abajo) que en el mismo tiempo en el afelio. Si la órbita planetaria fuera circular, siempre conservaría la misma velocidad. Este hecho convenció a Kepler que las órbitas eran elípticas.

Así, el planeta cerca del perihelio va mas rápido, pero esta mas cerca, y vice versa.

Lo que quiere significar esta segunda ley, es que el planeta va a distintas velocidades durante toda su órbita, pero en la proporción que si multiplico la velocidad por la distancia al Sol en cada momento, da una constante. Esto tiene que ver, aunque no lo sabia Kepler, con la gravedad que es una fuerza conservativa pero todavía faltaban 70 años para que naciera Newton.

Viéndolo de otro punto de vista, si hago los diagramas a escala, recorto los sectores cercanos al perihelio y al afelio, y los pongo en una balanza, pesan lo mismo.


Tercera Ley:

Es lejos la más compleja, dice que
"los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las órbitas". 
Esto significa que hay una relación entre las distancias y el tiempo que tardan en dar una vuelta al Sol de los planetas.

La ecuación y diagrama es el siguiente:


Esto significa que sabiendo los parámetros de un planeta, puedo saber de otro.

Si considero para la Tierra P1= 1 año, y R1= 1 unidad astronómica,

La ecuación se simplifica a:


Hay otras explicaciones en otro articulo anterior.

Para Saturno, que tiene un periodo de 29,5 años, se calcula:

Dist. = raiz cubica (29,5) al cuadrado = 9,5 UA.

Si coloco el valor 76 años  y hago el mismo calculo, da como valor 19,4 UA, que es el semieje mayor del Cometa Halley!!.

En otras palabras, también se puede usar para una órbita muy excéntrica, como un cometa porque hay que usar el semieje de la órbita. En el caso de los planetas, como las órbitas son casi circulares, se usa la distancia media al Sol, y el error es mínimo.

También se usa para el calculo de estrellas dobles, pero como es mas complicado quedara para una entrega posterior.

De todas maneras, el que quiera ver los desarrollos matemáticos de las leyes, mas el calculo de órbitas, puede dirigirse al excelente  sitio del Ing. Andres Esteban de la Plaza.

5 comentarios:

  1. Hola Claudio!
    Muy bueno el artículo sobre las Leyes de Kepler. La inclusión de videos fue muy acertada. ¡Felicitaciones!

    Quería aprovechar tu artículo para agregar el desarrollo matemático
    de la solución de la Ley de la Gravitación Universal de Newton en la
    cual aparecen las leyes de Kepler que mencionaste como resultado del desarrollo. Hay bastante matemática, con vectores, resolución de ecuaciones diferenciales, cálculo numérico y aplicación de programación para resolver las ecuaciones finales de las cónicas con los datos de la órbita, tanto del planeta como de la Tierra.
    Este trabajo ya está en mi página web de Matemática desde hace tiempo, más de diez años, y espero que les sea de utilidad a muchos aficionados ávidos por resultados numéricos concretos y aplicación de todos estos principios. Espero que les guste el trabajo.

    La dirección de la versión en español es:
    http://webspace.webring.com/people/gl/lemagicien/mathpage/calcorb/calcorb.html

    la página de Matemática es:
    http://webspace.webring.com/people/gl/lemagicien/mathpage/math.html

    En la misma hay también explicaciones de cómo calcular la posición de los planetas usando álgebra vectorial con coordenadas heliocéntricas que luego deberán ser transformadas en geocéntricas (porque el planeta está siendo visto desde la Tierra... jeje).

    Como comentario final, tanto el IE8 (Internet Explorer 8)como el Google Chrome (versión 7.0.517.44) reproducen sin problemas todos los símbolos matemáticos, el FireFox (versión 3.6.12) da algunos errores en la reproducción de símbolos de las ecuaciones cuando éstos no son imágenes.
    Un libro de consulta muy bueno es "Problemas y Ejercicios Prácticos de Astronomía" del autor ruso B. A Vorontsov - Veliamínov, editado pro la extinta Editorial MIR. Un excelente libro donde encontrarán las fórmulas finales que aparecen en mi trabajo pero no todo el desarrollo matemático del mismo. Fue esto precisamente lo que me llevó a efectuar la resolución de las ecuaciones diferenciales paso a paso y todo el desarrollo posterior.


    un abrazo
    Andrés

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  2. Andres:

    Ya agregue un link al final del articulo para el que quiera ver el desarrollo matematico.

    Gracias por tu aporte

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  3. Su última imagen es errónea debido que el sol no es el centro , es uno de los dos focos

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    Respuestas
    1. Estimado anonimo:

      No esta equivocada. en el caso de los planetas, las orbitas son casi circulares, y a la escala del diagrama, las orbitas casi se ven circulares.
      Ademas para explicar la ultima ley, hubiera sido una complicacion adicional que no le contribuye en nada a la explicacion hacerlas elipticas.

      Saludos

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