Arquimedes calculó el diámetro del Universo. El contador de arena

El Contador de Arena es una obra de Arquímedes en la que se propuso determinar un límite superior para el número de granos de arena que caben en el Universo.

Cuando me enteré de la existencia de esta obra, me sorprendió muchísimo la brillantez de este hombre, que con mínimas herramientas técnicas y matemáticas, hace 2 mil años, calculó el tamaño del Universo, que a pesar de estar equivocado, esta varios ordenes de magnitud por encima de las suposiciones de tamaño hasta casi dos mil años después. Era realmente revolucionario pensar que el Universo tenia casi 2 mil millones de kilómetros!!!!

¿Cómo hizo?

Con el fin de hacer esto, tenía que estimar el tamaño del Universo de acuerdo con el modelo de su época, e inventar una manera de hablar de números extremadamente grandes. 

La obra, también conocida en latín como Archimedis Syracusani arenarius, que tenia unas 8 páginas en la traducción, estaba dirigida al rey de Siracusa Gelo II (hijo de Hiero II), y es probablemente la obra más accesible de Arquímedes; en cierto sentido, es el primer trabajo de investigación expositiva.

¿Como lo hizo?

En primer lugar, Arquímedes tuvo que inventar un sistema para operar con grandes números. El sistema de numeración en uso en ese momento podría expresar números hasta una miríada (μυριάς - 10.000 o 10⁴), y mediante la utilización de la palabra "miríada" en sí misma, logró contar en unidades de "miríada de miríadas" (10.000x10.000 = 10⁸  = 100 millones). 

Estimación del tamaño del universo

Teniendo ahora una manera de manejar números grandes, Arquímedes entonces calculó un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo.

El Universo según Aristarco.

Para ello, utilizó el modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos. El trabajo original de Aristarco se ha perdido. En esta obra de Arquímedes, sin embargo se hace una de las pocas referencias que sobreviven a su teoría, por la que el Sol permanece impasible mientras la Tierra gira a su alrededor. En las propias palabras de Arquímedes:

Sus  hipótesis -de Aristarco- son que las estrellas fijas y el Sol permanecen impasibles, mientras que la Tierra gira alrededor del Sol en un círculo, con el Sol tumbado en medio de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas, situada sobre el mismo centro que el Sol, es tan grande que el círculo en el que se supone que la Tierra gira tiene una proporción tal que la distancia de las estrellas fijas como el centro de la esfera tiene a su superficie.

La razón para el gran tamaño de este modelo es que los griegos fueron incapaces de observar la paralaje estelar con las técnicas disponibles, lo que implicaba que las estrellas estaban enormemente lejanas.

De acuerdo con Arquímedes, Aristarco no indicó en qué medida las estrellas estaban alejadas de la Tierra.

Por lo tanto, tenía que hacer una suposición; asumió que el Universo era esférico y que la relación entre el diámetro del Universo con el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol era igual a la relación entre el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol con el diámetro de la Tierra.

A fin de obtener un límite superior, de Arquímedes utiliza una sobreestimación de sus datos asumiendo:

Aclaración: el estadio era una medida de longitud griega antigua, equivalente a unos 185 metros.

Se basó en números máximos. Por ejemplo, aunque ya se sabia que el diámetro de Tierra (según mediciones era 10 veces menor que el valor por él utilizado). En otras palabras prefirió sobre estimar los valores.

1. Que el perímetro de la Tierra no era más grande de 300 mil estadios (5,55  x 10⁵ kilometros = 555.000 km). 
2. Que la Luna no era más grande que la Tierra, y que el Sol era mayor que la Tierra. Su diámetro (del Sol) lo estima en 30 veces la Luna. 
3. Que el diámetro angular del Sol, visto desde la Tierra, era como maximo que 1 / 720a del circulo zodiacal, segun  opinión de Aristarco.  O sea, 0,5° grados. (Arquimedes calculo que sería mayor que 1/1000 del circulo máximo, o sea mayor que 0,36º.)

Los valores reales son:

La circunferencia de la Tierra tiene 40 mil kilómetros.
El diámetro del Sol es 400 veces mayor que la Luna.
El diámetro aparente del Sol es de medio grado.

El tamaño que estimó Arquimedes, mucho menor que la realidad, pero un hito para ese momento. 

Arquímedes calculó entonces que el diámetro del Universo, usando polígonos, no era más que 100 miriadas estadios (en unidades modernas, cerca de 2 mil millones de km), y que no requeriría más de 10⁶³ granos de arena para llenarlo. Apenas

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 granos de arena.....

Con seguridad, es el numero mas grande con sentido en esa época, y aun centenares de años después, muy pocos números con sentido alcanzaban ese valor.

En el enlace puedes ver el texto completo del Contador de Arena (en ingles)